在1734年 ， 英国哲学家乔治贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书 。
在这本书中 ， 贝克莱对牛顿的理论进行了攻击 ， 指出求x的导数时 ， 会出现如下矛盾：
文章插图
贝克莱认为这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果 。
然而这个问题并没有阻碍微积分的发展 ， 下拉格朗日、柯西等数学家的改进下 ， 微积分依旧上当前数学研究中重要的基础内容 。
3、罗素悖论
在1900年 ， 国际数学家大会上 ， 法国著名数学家庞加莱高调宣称：“……借助集合论概念 ， 我们可以建造整个数学大厦……今天 ， 我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
然而罗素提出的一个百思特网悖论：
所有不包含自身的集合的集合 ， 它到底包不包含自身呢？如果它包含自身 ， 那么它就不是不包含自身的集合 ， 所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素 。如果它不包含自身 ， 那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素 。这样的一个集合 ， 包不包含自身 ， 都必将引发矛盾 。如果看不懂这个悖论 ， 那就请直接参考理发师悖论 。
就在这次危机爆发后很长一段时间内 ， 数学家们曾试图对“集合论”的定义加以限制 ， 进而排除悖论 。然而并无法消除悖论存在的可能性 。
直到1931年 ， 哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明 。
①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统 ， 都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否 。②如果一个形式系统含有初等数论 ， 当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时 ， 它的百思特网自洽性不可能在该系统内证明 。
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